Главная » Мануалы

1 ... 6 7 8 9 10 11 12 ... 48

Таким образом, функция преобразования мембраны может быть представлена в общем виде:

E = (BjEh)F, (4.21)

откуда ее чувствительность

S = BJEh\ (4.22)

где Д., - конструктивный коэффициент чувствительности мембраны; h - толщина мембраны; Е - модуль упругости материала мембраны.

Величина и знак Вм определяются зоной деформации и относительной шириной использования этой зоны. Знак конструктивного коэффициента зависит также от того, какая поверхность мембраны (верхняя или нижняя) используется для работы. В зависимости от этого величина В„ может быть определена из графиков рис. 4.8 и 4.9. Как и в предыдущих случаях, конструктивные коэффициенты являются пропорциональными напряжениям. Поэтому кривые рис. 4.8 показывают распределение напряжений в мембране, а кривые рис. 4.9 дают возможность определить средние напряжения каждой зоны деформации. При использовании в качестве выходной величины перемещения представляет интерес зависимость прогиба центра мембраны от приложенной силы. Этот прогиб П13] при р = 0,3

6 = 0,217-f (4.23)

зависит от радиуса мембраны, тогда как при использовании в качестве выходной величины деформации она от радиуса не зависит.

Для определения собственной частоты в направлении действия силы воспользуемся [95 ] соотношением

где Н = ---цилиндрическая жесткость мембраны;

1/(1 ц )

ту - масса единицы объема мембраны; г - радиус мембраны.

Заменяя Шу на плотность материала, подставляя значение Н и производя соответствующие преобразования и вычисления, получим для р = 0,3

Как видно из (4.25), и в этом случае характеристики материала упругого элемента так же, как и в предыдущих случаях, влияют на собственную частоту. Выбор геометрических размеров мембраны позволяет в широких пределах варьировать собственной частотой мембраны. Совместное рассмотрение выражений (4.24) и (4.25) показывает, что рекомендации по выбору материала упру-

того элеменФа Совпадают с рекомендациями, Данными для стержневого и кольцевого упругих элементов. Влияние толщины мембраны на чувствительность и собственную частоту колебаний такое же, как влияние толщины на эти параметры в кольцевом упругом элементе. Однако радиус мембраны определяет только собственную частоту, не влияя на чувствительность, и поэтому при проектировании таких упругих элементов заданную величину собственной частоты можно обеспечить соответствующим выбором радиуса мембраны.

Балка равного прямоугольного сечения. Для упругого элемента, выполненного в виде балки равного прямоугольного сечения, жестко защемленной одним концом, связь между приложенной силой F (см. рис. 4.4) и максимальными деформациями от поверхностных напряжений определяется соотношением

6/ о (4.26)

где / - длина балки; h - толщина балки; - сечение балки; Е - модуль упругости материала балки; е - деформация балки

в заделке; F - приложенная сила; Sq = -г^--макси-

ИзстЕ

мальная чувствительность балки равного сечения.

Выражение (4.26) является функцией преобразования усилия в деформацию для частного случая, когда для работы используются максимальные напряжения. В этом случае чувствительность определяется числовым коэффициентом, равным 6. Назовем его конструктивным коэффициентом чувствительности. Нетрудно показать, что его величина изменяется по длине балки, как показано на рис. 4.10, т. е. Bg изменяется линейно от максимального значения в месте заделки до нуля в точке приложения силы. Для каждого сечения балки Bq может иметь как положительное, так и отрицательное значение в зависимости от того, рассматривается деформация в верхних или нижних волокнах балки.

При полном использовании длины балки под установку тензорезистора или другого измерительного преобразователя среднее в

о 0,21 0,И 0,61 0,81 L

Рис. 4.10. Зависимость конструктив- Рис. 4.11. Зависимость среднего конного коэффициента чувствительности структивного коэффициента чувстви-для балки равного прямоугольного се- тельности от длины балки при ча-чения от длины стичном использовании длины балки

значение конструктивного коэффициента чувствительности Вб. ср ~ 3. При частичном использовании длины балки Bg. р будет изменяться в соответствии с графиком, приведенным на рис. 4.11. С увеличением зоны использования х^И (хд - длина используемой зоны, база тензорезистора) Bg. ср линейно уменьшается от 6 до 3.

Следует отметить, что, как и в предыдущих случаях, характер распределения напряжений в балке соответствует характеру изменения конструктивного коэффициента чувствительности.

Таким образом, общее выражение функции преобразования балки равного сечения, жестко защемленной одним концом,

- = -7&- (4.27)

а общее выражение чувствительности

---7&- (4.28)

Очень часто в качестве выходной величины используется прогиб конца балки. В этом случае функция преобразования

(4-29)

где 6 - прогиб конца балки.

Собственная частота защемленной балки равного сечения согласно [95 ]

где J - момент инерции сечения балки; т - масса единицы длины балки.

Производя соответствующие подстановки значений J и т, после несложных преобразований получим выражение для собственной частоты в той же форме, что и для ранее рассмотренных упругих элементов:

/o = /f- (4.31)

Совместное рассмотрение выражений (4.28) и (4.31) позволяет увидеть особенности такого типа упругого элемента. Так параметром, который позволяет влиять на чувствительность, не изменяя собственной частоты колебаний, в этом случае является сечение балки. Изменение толщины балки с целью увеличения чувствительности приводит к эквивалентному уменьшению собственной частоты колебаний упругого элемента. Характеристики материала влияют на чувствительность и быстродействие так же, как и в предыдущих случаях.

Балка равного сопротивления изгибу. Упругий элемент такой формы отличается от предыдущего тем, что величины напряжений как для верхних, так и для нижних волокон балки не зависят от выбора сечения, постоянны по длине балки и равны напряжениям в заделке. Поэтому конструктивный коэффициент чувствительности такого упругого элемента не зависит ни от координат сечения, ни от полноты использования зоны деформаций. Его величина для всех случаев постоянна и равна 6, изменяется только знак его в зависимости от того, используются деформации верхних или нижних волокон балки.

С учетом этого, для балки равного сопротивления изгибу справедливо соотношение (4.27). Прогиб конца балки определяется [95] соотношением

Для определения собственной частоты консольной балки равного сопротивления воспользуемся соотношением

0,В 1,6 2,f 3,2 и,0 Т1

Рис. 4.12. Зависимость конструктивного коэффициента чувствительности от показателя п

0=0.159-1/4,

(4.32)

где Jo - момент инерции у заделки; - масса единиц длины балки у заделки;

2(Ci-C2)

З-т) L 2 (4 -Т1)(Б-Т1) J

т] - показатель, характеризующий изменение жесткости в зависимости от текущей координаты х, изменяющейся в направлении длины балки (начало координат расположено в заделке). Из формул видно, что при т] = 1 величина В = О, что не соответствует физическим представлениям. Поэтому для нахождения В при If] = 1 построим зависимость В = f (т]), где т] изменяется в пределах 0,5-5,0, причем т] не равно целым числам.

График зависимости В == f (ц) представлен на рис. 4.12.

На графике кривая / дает возможность определить значение В при т] < 1, а кривая 2 - при г] > 1. Так как разрыв кривых обусловлен неприменимостью формул для ц = 1, то для нахождения величины В при ц = 1 выполним графическую интерполяцию кривых (на рисунке показано штриховой линией) и найдем, что при т) = 1 величина В = 0,88.

Подставляя значение В в (4.32) и производя аналогичные предыдущим преобразования, получим

,. = A1 ./Z. ,4.33)

Таким образом, рассмотренные конструкции упругих элементов, преобразующих силу в деформацию, имеют функцию преобразования и чувствительность, которые определяются конструктивными размерами, модулем упругости и конструктивным коэффициентом чувствительности. Конструктивный коэффициент чувствительности определяет не только величину чувствительности, но и ее знак. Величина и знак конструктивного коэффициента чувствительности зависят от координат сечения, характера деформаций и степени использования зон деформаций.

Для удобства использования полученные выражения чувствительностей сведены в таблицу 4.1. Там же даны пределы изменения конструктивного коэффициента чувствительности и выражения для собственных частот.

Анализируя выражения для собственных частот разобранных конструкций, можно сделать следующие общие выводы:

1. Собственная частота упругого элемента определяется некоторым числовым коэффициентом (назовем его конструктивным коэффициентом быстродействия), одним конструктивным параметром (обобщенным параметром длины упругого элемента) и двумя характеристиками материала (модулем упругости и плотностью).

2. Собственная частота тем больше, чем больше конструктивный коэффициент быстродействия, меньше обобщенный параметр длины упругого элемента и больше отношение модуля упругости материала к плотности (характеристика длины звуковой волны в материале).

3. Не все размеры упругого элемента влияют на его быстродействие. Например, быстродействие стержня не зависит от сечения, быстродействие кольца не зависит от его ширины и т. д. Это значит, что имеюгся условия для выполнения упругих элементов с различной чувствительностью, но с одинаковой собственной частотой, и наоборот.

4. Среди рассмотренных упругих элементов можно выделить две группы элементов. В одной группе обобщенный параметр длины зависит только от одного конструктивного размера (длины в стержне), в других (кольцо, мембрана, балка) - от двух конструктивных параметров: от параметра длины и параметра толщины.

Таблица 4.1

Параметры некоторых преобразователей силы

Упругий элемент

Чувствительность

по деформации

по перемещению

ч

Собственная частота

без учета присоединенной массы

с учетом присоединенной массы

Стержень

ScrE

1-0,3

0,249 ,

0,160

/ Va+kf

0,405

-1.794

1,91- 1,09

0,123А

0,476А

4Va + kf

0,148

Мембрана

0,217/-2

1,31-0,434

0,492Л

0,193А

0,153

Балка равного сечения

0.162/1

O.OSOh

В(,1 bhE

3/3 bh?E

Vci+kf

0,243

Балка равного сопротивления

0,316/1

/а

0.091/1

0,0845

5. При одинаковых характеристиках длины и материала наибольшую собственную частоту имеет мембранный упругий элемент, наименьшую - кольцевой упругий элемент.

4.3. ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ ДАВЛЕНИЯ

К преобразователям давления следует отнести упругие элементы, построенные с использованием различного рода оболочек. Наиболее распространейными и технологичными в изготовлении 90

Рис. 4.13. Наиболее распространенные конструкции упругих элементов, построенных с использованием различного рода оболочек

ЯВЛЯЮТСЯ следующие конструкции (рис. 4.13): мембрана, жестко заделанная по контуру; цилиндрическая оболочка-колпачок толщиной h; коническая оболочка толщиной h; полусферическая оболочка толщиной h.

Для этих конструкций упругих элементов определим функции преобразования и чувствительность.

Мембрана, жестко заделанная по контуру. В таком упругом элементе (рис. 4.13, а) под действием приложенного давления Р в верхних и нижних волокнах возникают радиальные нормальные напряжения, направленные вдоль радиуса, и окружные нормальные напряжения, направленные по окружности мембраны. Согласно выводам, сделанным в работе [113],

Оф = ± бМф 1 ;

а, = ± 6I, l

где Жф - окружной изгибающий момент; - радиальный изгибающий момент;

Мф = -Й- [(1 - 3(х) (-f) - (1 - р) ] M,=4-[(3+p)(-fy-(l -р)]р.

Используя закон Гука, получим из приведенных выше уравнений связь между деформациями и приложенным давлением (функцию преобразования):

°(l-p)(l-)P = SфP;

0,375f° hE

(l-p)(l-3)P=5,P,

(4.34) (4.35)

где бф, 6 - окружная и радиальная деформации соответственно; X - текущая координата радиуса;. Е - модуль упругости материала мембраны; 5ф, S, - чувст;зитедьности мембраны при использовании окружных и радиальных деформаций соответственно.

Как показывают выражения (4.34) и (4.35), функция преобразования определяется геометрическими размерами мембраны (радиусом и толщиной), характеристикой материала (модулем упругости) и коэффициентом Пуассона и зависит от того, какая деформация (радиальная или окружная) используется в качестве рабочей. Кроме того, она зависит от величины текущего радиуса.

Обозначим

Вф = 0,375 (1 -р2)(1 -a:V); В, = 0,375(1 -р2)(1-Зд;7А-г

(4.36) (4.37)

Назовем, аналогично предыдущему, коэффициенты Вф и В^ конструктивными коэффициентами чувствительности мембраны к давлению соответственно для случаев использования окружных и радиальных деформаций. Так как для изготовления упругих элементов используются металлы, то примем р = 0,3 и рассчитаем зависимости коэффициентов Вф и В^ от текущего радиуса мембраны. Эти зависимости представлены на рис. 4.14.

Как показывает рис. 4.14 и выражения (4.36) и (4.37), в рассматриваемом упругом элементе имеются три зоны деформаций. Одна зона расположена в пределах xir - О-1 и соответствует использованию окружных деформаций. В этой зоне конструктивный коэффициент чувствительности имеет максимальное значение в центре мембраны и равен 0,351. Вторая и третья зоны деформаций соответствуют использованию радиальных деформаций и расположены в пределах tlx = О-0,568 и rlx = 0,568 1,0 соответственно. Для второй зоны максимальное значение конструктивного коэффициента также равно 0,351, а для третьей зоны - 0,704.

Средние значения конструктивных коэффициентов чувствительности в зависимости от полноты использования зоны можно найти, интегрируя уравнения (4.36) и (4.37) в соответствующих пределах.

Рис. 4.14. Зависимость конструктивных Рис. 4.15. Зависимости средних кон-коэффициентов от текущего радиуса структивных коэффициентов мембраны мембраны от величины используемой зоны дефор-

маций

Так выражение для среднего значения Вф в первой зоне

- 0,375 (1 -1X2) f ( 1 д.2/;.2) J (д./)

Вычислим Вфр для р = 0,3 и полного использования зоны. Для этого случая xIr = \ и после вычислений имеем

Вфр = 0,351 I d{xlr) - 0,351 \х^/гЧ{х/г);

о о

Фср = 0,351х/г - 0,351 1/3 (x/rf ;

о и

Вфр = 0,351 -0,117 = 0,234.

Аналогичные вычисления, проведенные для промежуточных величин использования зоны, позволили построить зависимость = f (Ах/Аг), где Ал; - текущая ширина используемой зоны (рис. 4.15). На том же рисунке представлены зависимости В'г^ = = / (Ах/Аг) и Влр = / (Ах/Аг), вычисленные путем интегрирования выражения (4.33) для р = 0,3. В этих случаях вычисления производились и для случаев переиспользования зоны, когда Ах/Аг > 1 (Аг - ширина рассматриваемой зоны). При полном использовании второй зоны, как видно из рис. 4.15, конструктивный коэффициент чувствительности В'г^ = 0,24, а при полном использовании третьей зоны коэффициент BJ = -0,35.

Следовательно, в рассматриваемой мембране как преобразователе давления в относительную деформацию имеющиеся три зоны деформаций характеризуются тем, что для каждой зоны в зависимости от полноты использования конструктивный коэффициент чувствительности может иметь разную величину и знак в пределах ±0,704. Следует заметить, что кривые конструктивных коэффициентов чувствительности дают характер распределения напряжений в мембране, находящейся под давлением.

JИзлoжeннoe выше позволяет написать функцию преобразования и чувствительность мембранного упругого элемента, преобразующего давление в деформацию:

= (4.38)

S = -, (4.39)

где Вир - конструктивный коэффициент чувствительности мембраны к давлению; г и ft - радиус и толщина мембраны соответственно; Е - модуль упругости материала мембраны.

Если мембрана является преобразователем давления в перемещение, то чаще всего используется перемещение центра мембраны. Функция преобразования для этого случая [113]

° Eh

Собственная частота колебаний этого упругого элемента не зависит от входной величины и поэтому определяется выражением (4.25).

Цилиндрическая оболочка (колпачок). Приложенное давление в таком упругом элементе (см. рис. 4.13, б) вызывает растягивающие напряжения в меридиональном направлении и вдоль окружности колпачка, которые согласно [108] равны

Используя зависимость относительной деформации от напряжений, получим функции преобразования колпачка как упругого элемента:

е. = (1 - 2,11) Р (4.40)

бф = 4(2-р)Р=5фР, (4.41)

где 6j£, бф - меридиональная и кольцевая деформации соответственно; rah - радиус и толщина колпачка; £, р - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала колпачка; Р - приложенное к колпачку давление; S, 5ф - чувствительности колпачка.

Как видно из (4.40) и (4.41), чувствительности колпачка не зависят от длины колпачка и определяются только характером используемых деформаций, радиусом колпачка, его толщиной и модулем упругости. Числовой коэффициент с учетом коэффициента Пуассона в приведенных выражениях назовем конструктивным коэффициентом чувствительности колпачка:

В;, = 0,5(1-2р); (4.42)

Вф = 0,5(2-р). (4.43)

Тогда общие выражения функции преобразования и чувствительности колпачка могут быть представлены в следующем виде;

.==Р; (4.44)

SBj-m, (4.45)

где Вц - конструктивный коэффициент чувствительности. При р = 0,3 он может в зависимости .от характера используемых деформаций принимать значения, равные 0,2. или 0,85.

1 ... 6 7 8 9 10 11 12 ... 48